É uma equação com uma ou mais variável em que cada variável tem expoente igual a um e não pode existir multiplicação nem divisão entre elas. Assim, ax + by = 0 é uma equação linear, pois a variável é x e o seu expoente é igual a um (x¹) e a variável y também tem expoente igual a um (y¹).
As equações lineares são um dos conceitos fundamentais da matemática. São utilizadas para modelar relações entre variáveis e são frequentemente utilizadas em áreas como a economia, a física e a engenharia. Uma equação linear é considerada não linear quando não satisfaz o princípio da superposição. Este princípio estabelece que, se um sistema linear tem duas soluções, então qualquer combinação linear dessas soluções é também uma solução. Em contraste, um sistema não linear não satisfaz este princípio e, portanto, uma combinação linear de duas soluções pode não ser uma solução.
Exemplos de equações lineares Existem vários exemplos de equações lineares. Um dos mais simples é a equação y = mx + b, que descreve uma linha recta num gráfico. Aqui, m é o declive ou gradiente da recta, b é a intercepção y, e x e y são variáveis. Outro exemplo é a equação y = a + bx + cz, que representa um plano no espaço tridimensional.
O que significa não-linear?
Em matemática, não linear refere-se a uma função que não satisfaz as propriedades da linearidade. Uma função não linear não pode ser expressa como uma combinação linear das suas entradas. Em vez disso, ela tem uma relação mais complexa entre suas entradas e saídas. As equações não lineares são utilizadas para modelar uma grande variedade de fenómenos, incluindo sistemas caóticos, reacções químicas e crescimento populacional.
Equações Diferenciais e Linearidade
Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma função com as suas derivadas. As equações diferenciais podem ser lineares ou não lineares. Uma equação diferencial é dita linear se a variável dependente e suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares. Caso contrário, é não linear. Uma equação diferencial linear é dita homogénea se o lado direito for zero. As equações diferenciais lineares homogéneas têm uma propriedade especial: se forem encontradas duas soluções, então a sua combinação linear é também uma solução.
Um conjunto de equações lineares é uma colecção de equações que podem ser escritas na forma a1x1 + a2x2 + … + anxn = b, onde x1, x2, …, xn são as variáveis, e a1, a2, …, an e b são constantes. Um conjunto de equações lineares pode ser resolvido utilizando vários métodos, como a substituição e a eliminação. Em contrapartida, um conjunto de equações não lineares não pode ser resolvido utilizando estes métodos e pode exigir técnicas mais avançadas.
Em conclusão, compreender a diferença entre equações lineares e não lineares é fundamental em matemática. As equações lineares são utilizadas para modelar relações entre variáveis, enquanto as equações não lineares são utilizadas para modelar relações mais complexas. As equações diferenciais também podem ser lineares ou não lineares, sendo que as equações diferenciais lineares têm propriedades especiais. Em geral, um conhecimento profundo da linearidade pode ajudar a resolver vários problemas em matemática e noutros domínios.
Um exemplo de uma equação linear é y = 2x + 3, onde y representa a variável dependente, x representa a variável independente, e 2 é a inclinação da linha e 3 é a intercepção y. Um exemplo de uma equação não linear é y = x^2 + 3, em que y continua a ser a variável dependente e x continua a ser a variável independente, mas a relação entre as duas não é uma linha recta. Em vez disso, é uma curva.
Para saber se um sistema é linear, é preciso verificar se ele satisfaz duas propriedades importantes: a superposição e a homogeneidade. A sobreposição significa que se tivermos duas entradas e as suas saídas correspondentes, então qualquer combinação linear dessas entradas deve ter uma saída correspondente que é a mesma combinação linear das saídas correspondentes. Homogeneidade significa que se multiplicarmos a entrada por um escalar, então a saída também deve ser multiplicada pelo mesmo escalar. Se um sistema satisfaz estas duas propriedades, então é linear. Se não, então ele é não linear.
Os sistemas lineares são utilizados em muitas áreas da matemática, ciência, engenharia, economia e outros domínios para modelar e analisar vários fenómenos. Exemplos de aplicações de sistemas lineares incluem circuitos eléctricos, sistemas mecânicos, reacções químicas, dinâmica populacional, modelação financeira, entre outros. As equações lineares e as matrizes são também muito utilizadas nas ciências informáticas e na inteligência artificial para análise de dados, aprendizagem automática e problemas de optimização.