Números Irracionais: Definição, propriedades e exemplos.

Os números são um dos conceitos essenciais da matemática. Estão divididos em várias categorias, tais como números naturais, números inteiros, números racionais e números irracionais. Neste artigo, vamos discutir os números irracionais, sua definição, propriedades e exemplos.

O que são números irracionais?

Um número irracional é um número que não pode ser expresso como uma fracção de dois números inteiros. É um número decimal não repetitivo e não terminante que continua para sempre. Os números irracionais são um subconjunto dos números reais e são denotados pelo símbolo √(a), onde a é um número quadrado não perfeito.

Os números reais são os números que incluem todos os números racionais e irracionais. Eles possuem quatro propriedades essenciais:

2. Propriedade Comutativa: A ordem dos números não importa na adição e na multiplicação. Por exemplo, a + b = b + a, e ab = ba.

3. Propriedade Associativa: O agrupamento dos números é indiferente na adição e na multiplicação. Por exemplo, (a+b)+c = a+(b+c), e (ab)c = a(bc).

Propriedade Distributiva: O produto de uma soma é igual à soma dos produtos. Por exemplo, a(b+c) = ab + ac.

A ordem dos números reais é determinada pela sua posição na reta numérica. Um número à esquerda de outro número é menor, e um número à direita é maior. A ordem dos números reais é denotada pelo símbolo , ≤, ou ≥.

Os números reais são divididos em duas categorias: números racionais e irracionais. Os números racionais são os números que podem ser expressos como uma fracção de dois números inteiros. São um número decimal finito ou repetitivo. Os números irracionais, por outro lado, são os números que não podem ser expressos como uma fracção de dois números inteiros. São números decimais que não se repetem, não terminam e são eternos.

É verdade que todo o número inteiro é um número natural?

Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo inteiro é um número natural. Um número natural é um número inteiro positivo, enquanto um número inteiro pode ser positivo, negativo ou zero.

A proposição que é verdadeira para todo número inteiro e racional e todo número real e um número inteiro é a propriedade de fechamento. A propriedade de fechamento afirma que a soma e o produto de dois números inteiros ou racionais são sempre um número inteiro ou racional, respectivamente. Da mesma forma, a soma e o produto de um número inteiro e de um número real são sempre um número real.

Conclusão

Em conclusão, os números irracionais são um conceito essencial em matemática. Trata-se de um número decimal não repetitivo e não terminado que não pode ser expresso como fracção de dois números inteiros. Os números reais têm quatro propriedades essenciais, incluindo as propriedades de fecho, comutativa, associativa e distributiva. A ordem dos números reais é determinada pela sua posição na recta numérica. Os números racionais e irracionais são as duas categorias de números reais, sendo os números racionais um número decimal finito ou repetitivo, enquanto os números irracionais são um número decimal não repetitivo e não terminante que continua para sempre.