Começando pelo caso mais simples, em uma matriz de ordem 2, ou seja, que possui duas linhas e duas colunas, para aplicar a regra de Sarrus, basta calcular a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária.
As matrizes são uma parte importante da álgebra linear e são usadas numa variedade de campos, incluindo a matemática, a física e a engenharia. Uma das propriedades fundamentais de uma matriz é o seu determinante, que é um valor escalar que pode ser usado para ajudar a resolver sistemas de equações lineares e determinar a invertibilidade de uma matriz. Neste artigo, discutiremos a Regra de Sarrus, que é um método para calcular o determinante de uma matriz 3×3.
Para entender a Regra de Sarrus, precisamos primeiro entender como calcular a matriz A. Uma matriz é um conjunto rectangular de números dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, uma matriz 3×3 teria três linhas e três colunas, e cada elemento da matriz seria representado por uma letra ou um número. A matriz A pode ser formada escrevendo os elementos da matriz numa ordem específica. A primeira linha é escrita da esquerda para a direita, a segunda linha é escrita por baixo da primeira linha e a terceira linha é escrita por baixo da segunda linha. Por exemplo, se tivermos a matriz:
[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]
[1 2 3 1 2]
[4 5 6 4 5]
[7 8 9 7 8]
3 6 9
Agora que formamos a matriz A, podemos usar a Regra de Sarrus para calcular o determinante. A regra de Sarrus é um dispositivo mnemónico que nos ajuda a recordar os passos para calcular o determinante de uma matriz 3×3. A regra tem o nome de Pierre Frederic Sarrus, um matemático francês que descreveu o método pela primeira vez no início do século XIX.
Para utilizar a regra de Sarrus, começamos por escrever a matriz A duas vezes, com a segunda cópia deslocada uma coluna para a direita. Em seguida, desenhamos linhas diagonais do canto superior esquerdo para o canto inferior direito, e do canto superior direito para o canto inferior esquerdo, como mostrado abaixo:
[1 2 3 1 2]
[4 5 6 4 5]
[7 8 9 7 8]
3 6 9
[1 2 3 1 2]
[4 5 6 4 5]
[7 8 9 7 8]
3 6 9
Em seguida, multiplicamos os elementos em cada diagonal e somamos os produtos. Os produtos na diagonal esquerda são 1*5*9 e 2*6*7, que nos dão 45 e 84. O produto na diagonal direita é 3*5*7, o que nos dá 105. Subtraímos então a soma dos produtos da diagonal direita à soma dos produtos da diagonal esquerda, o que nos dá:
Portanto, o determinante da matriz 3×3 é 24.
É importante notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, o que significa que a ordem em que as matrizes são multiplicadas é importante. Por outras palavras, AB não é necessariamente igual a BA. A multiplicação de matrizes também não é associativa, o que significa que (AB)C não é necessariamente igual a A(BC). O elemento neutro na multiplicação de matrizes é a matriz identidade, que é uma matriz quadrada com uns na diagonal e zeros noutras partes. O elemento nulo na multiplicação de matrizes é a matriz zero, que é uma matriz em que todos os elementos são zero.
Finalmente, é possível multiplicar matrizes de ordens diferentes, mas apenas se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Se esta condição não for satisfeita, então as matrizes não podem ser multiplicadas. Ao multiplicar matrizes, os elementos da matriz resultante são calculados tomando o produto escalar das linhas e colunas correspondentes das duas matrizes.
Em conclusão, a Regra de Sarrus é um método útil para calcular o determinante de uma matriz 3×3. Seguindo os passos da regra, podemos encontrar rapidamente o determinante sem ter que usar métodos mais complexos. É importante compreender as propriedades da multiplicação de matrizes, incluindo a sua falta de comutatividade e associatividade, bem como as condições para multiplicar matrizes de diferentes ordens.
Para igualar duas matrizes, elas devem ter as mesmas dimensões e os mesmos valores em cada elemento correspondente. Isso significa que cada elemento da primeira matriz deve ter um elemento correspondente idêntico na segunda matriz. Se as matrizes tiverem dimensões diferentes ou valores diferentes em qualquer elemento correspondente, elas não podem ser igualadas.
O determinante de uma matriz 2×2 é calculado multiplicando os elementos da diagonal e subtraindo o produto dos elementos fora da diagonal.
O determinante de uma matriz 3×3 pode ser calculado utilizando a Regra de Sarrus, que envolve escrever a matriz duas vezes num padrão triangular, adicionando os produtos dos elementos diagonais na direcção descendente e subtraindo os produtos dos elementos diagonais na direcção ascendente. Outra forma de calcular o determinante de uma matriz 3×3 é utilizando a expansão de cofactores ao longo de uma linha ou coluna.