A interpolação é uma técnica matemática que envolve a estimativa de valores para uma função em pontos que se encontram entre pontos de dados conhecidos. É um método comumente usado em uma variedade de campos, incluindo engenharia, física e finanças. A interpolação é útil quando os dados só estão disponíveis em pontos discretos, mas é necessário estimar valores em pontos que não são explicitamente dados.
A interpolação pode ser classificada em dois tipos: interpolação polinomial e interpolação spline. A interpolação polinomial é uma técnica simples que envolve o ajuste de uma função polinomial aos pontos de dados fornecidos. O grau do polinómio depende do número de pontos de dados e do grau de precisão necessário. A interpolação spline, por outro lado, envolve o ajuste de funções polinomiais por partes aos pontos de dados. A interpolação spline é mais flexível do que a interpolação polinomial e pode fornecer melhor precisão para conjuntos de dados complexos.
A interpolação espúria ocorre quando a função interpolada não representa com exactidão os dados originais. Isto pode acontecer se o grau do polinómio ou o número de segmentos spline for demasiado elevado. Nesses casos, a função interpolada pode oscilar muito entre os pontos de dados, levando a valores espúrios. A interpolação espúria pode ser evitada utilizando um polinómio de grau inferior ou menos segmentos spline.
A interpolação tem muitas aplicações práticas. Por exemplo, pode ser utilizada para estimar pontos de dados em falta numa série temporal, para suavizar dados ruidosos ou para gerar dados sintéticos para fins de teste. A interpolação também pode ser utilizada para aproximar funções complexas, que podem ser difíceis ou impossíveis de resolver analiticamente.
A interpolação linear é um tipo específico de interpolação que envolve a estimativa do valor de uma função num ponto situado entre dois pontos de dados. Assume-se que a função é linear entre os dois pontos de dados e estima-se o valor no ponto intermédio com base no declive da recta que liga os dois pontos de dados. A interpolação linear é um método simples e rápido para estimar valores entre dois pontos de dados. No entanto, pode não ser exacta se a função não for linear entre os dois pontos.
Em resumo, a interpolação é uma técnica útil para estimar valores de uma função em pontos que se situam entre pontos de dados conhecidos. Pode ser classificada em interpolação polinomial e interpolação spline, e pode ser utilizada numa variedade de aplicações. No entanto, é preciso ter cuidado para evitar interpolações espúrias e a escolha do método de interpolação deve depender da natureza dos dados e do grau de precisão desejado.
A interpolação quadrática é uma técnica usada para estimar valores entre dois pontos de dados conhecidos usando uma curva parabólica. Para efectuar a interpolação quadrática, é necessário ter três pontos de dados: (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2). Depois, pode utilizar a seguinte fórmula para aproximar o valor de f(x) num ponto x entre x1 e x2:
f(x) = y1 + ((x – x1)/(x2 – x1)) * (y2 – y1) + ((x – x1)/(x2 – x1)) * ((x – x2)/(x1 – x2)) * (y0 – 2*y1 + y2)
A interpolação de Newton é um método de interpolação polinomial que utiliza diferenças divididas para calcular os coeficientes do polinómio. O seu nome deriva de Sir Isaac Newton, que desenvolveu o método no século XVII. Este método é semelhante à interpolação de Lagrange, mas tem algumas vantagens, tais como ser mais eficiente ao adicionar novos pontos de dados à interpolação e fornecer uma forma de estimar o erro da interpolação.
Para calcular a interpolação linear, primeiro é preciso ter dois pontos de dados que sejam adjacentes ao valor que se deseja interpolar. Depois de ter esses dois pontos de dados, é necessário calcular a inclinação entre eles subtraindo o valor Y do primeiro ponto de dados do valor Y do segundo ponto de dados e dividindo o resultado pela diferença entre os valores X dos dois pontos de dados. Assim que tiver o declive, pode utilizá-lo para calcular o valor Y em qualquer ponto entre os dois pontos de dados, introduzindo o valor X do ponto que pretende interpolar na equação da recta e resolvendo em função de Y.